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created: 2026-10-08
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  - 沪教版教参必修第三册·第13章
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source: 沪教版教参必修第三册.md（原文件第 2156–2958 行）
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# 第 13 章 统计

> 拆分自 [[沪教版教参必修第三册]] · **第 13 章 统计**（原文件第 2156–2958 行）。
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## 一、本章概述

### 总体要求

随着信息技术的迅猛发展,我们已经迈入了大数据时代,“用数据说话”即是这个时代的特征, 也是全社会的共识. 为了适应社会、科学技术的发展, 统计与概率从无到有, 到如今已成为高中数学课程的一个主题. 在高中课程中, “概率与统计”主题由概率与统计两部分组成, 其中统计内容主要包括一些基本概念, 数据分析的整个过程, 以及几个基本问题. 必修部分主要介绍前两块的内容, 包括获取数据的基本途径及相关概念、抽样、统计图表、用样本估计总体, 以及数据分析的整个过程; 选择性必修部分将通过案例来介绍统计的几个基本问题: 成对数据的相关性, 回归分析, 独立性检验.

统计知识贯穿在基础教育的三个学段, 在每个学段都要学习收集、整理、描述和分析数据的基本方法, 但教学的要求随着学段的升高逐渐提高, 螺旋上升. 通过本章的学习, 可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法; 通过具体实例, 感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性; 体会统计思维与确定性思维的差异, 归纳推断与演绎证明的差异; 通过实际操作、计算机模拟等活动, 积累数据分析的经验. 通过经历较为系统的数据处理全过程, 初步体会解决统计问题的一般过程与方法.

与传统数学不同的是, 统计学研究的是不确定性的现象, 它强调的是根据研究问题的背景, 寻找合适的统计模型与方法, 从数据出发, 通过归纳推理得出推断或决策, 所得的结论具有或然性. 因此, 在学习本章内容时, 要注意统计思维与确定性思维的差异.

统计学的核心是数据分析, 是指针对研究对象获取数据, 运用数学方法对数据进行整理、分析、推断和决策的过程. 教育部制定的《普通高中数学课程标准(2017 年版)》第一次将“数据分析”和“数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模” 并列作为高中数学核心素养,同时指出:“数据分析是研究随机现象的重要数学技术, 是大数据时代数学应用的主要方法, 也是 “互联网十” 相关领域的主要数学方法, 数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面. ”

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 ${10} + 1$ ,共计 11 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td>13.1 总体与样本</td><td>1</td><td/></tr><tr><td>13.2 数据的获取</td><td>1</td><td/></tr><tr><td rowspan="2">13.3 抽样方法</td><td rowspan="2">2</td><td>简单随机抽样 1 课时</td></tr><tr><td>分层随机抽样 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="2">13.4 统计图表</td><td rowspan="2">2</td><td>频率分布表和频率分布直方图 1 课时</td></tr><tr><td>茎叶图和散点图 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">13.5 统计估计</td><td rowspan="3">3</td><td>估计总体的分布 1 课时</td></tr><tr><td>估计总体的数字特征 1 课时</td></tr><tr><td>估计百分位数 1 课时</td></tr><tr><td>13.6 统计活动</td><td>1</td><td/></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章首先介绍了总体、样本等统计的核心概念, 然后介绍如何获取样本数据, 如何分析和呈现数据, 再通过样本来估计总体, 最后以一个完整的统计活动作为总结. 从统计的核心概念, 到数据分析的每一个步骤, 最后通过一个典型案例让学生经历数据分析的全过程. 与“二期课改”教材强调“基本统计方法”不同,本教材更关注真实、 有意义的统计活动.

本章内容共分为六节, 分别是 13.1 总体与样本, 13.2 数据的获取, 13.3 抽样方法, 13.4 统计图表, 13.5 统计估计, 13.6 统计活动. 除了最后一节, 前五节实际上是按照一个统计活动的逻辑顺序展开的.

"13.1 总体与样本"的目的是明确研究对象. 在统计活动中, 首先要根据研究问题确定研究对象, 当所有研究对象组成的总体容量比较大或者不确定时, 需要从总体中抽取一部分样本, 通过样本统计量去推断总体参数. 因此, 总体与样本是统计的核心概念.

“13.2 数据的获取”反映了统计活动的出发点,即用“用数据说话”. 统计活动是否有意义取决于数据的来源及其真实性, 因此, 数据的获取方式十分重要. 按照数据的不同获取方式, 本节介绍了数据的两种类型: 观测数据与实验数据, 以及普查和抽查的概念.

"13.3 抽样方法"是用样本推断总体的必要技术. 由于样本在一定程度上会出现偏差和变异性, 用样本来估计总体也会造成一定程度的偏差与变异性, 因此要保证样本的代表性, 减少抽样误差. 从理论上讲, 样本的容量越大, 随机性越小, 其抽样误差就会越小, 但工作量与可行性也会降低, 因此, 需要根据研究问题和实际情况选择合适的抽样方法. 本节介绍了两种常用的抽样方法一一简单随机抽样和分层随机抽样.

“13.4 统计图表”的目的是将获取的数据可视化,以便直观地表示数据的分布特征, 从变异中发现统计规律. 本节主要介绍了几类常见的统计图表: 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图和散点图. 教材通过一些典型的例子, 使学生初步认识到: 不同的统计图表有不同的用处.

"13.5 统计估计"是统计活动的核心. 分别通过样本的分布、样本的集中趋势和离散程度以及样本的百分位数来估计总体的分布、总体的集中趋势和离散程度以及总体的百分位数. 由于目前还缺乏各种统计模型及相关的概率知识, 因此本节的“估计”仍是描述性的, 也就是说, 直接用样本分布和统计量去“描述”总体的分布与参数.

"13.6 统计活动"以一个较为完整的统计活动作为典型案例, 让学生经历较为系统的数据分析的全过程, 从实际问题中识别或凝练统计问题, 根据实际问题选择不同的抽样方法获取数据, 用适当的统计图表描述和表达数据, 并从样本数据中提取需要的数字特征, 进而估计总体的统计规律, 解决相应的实际问题, 从而初步体会解决统计问题的一般过程与方法.

学生的体质测试是本章的一条“暗线”, 从 13.1 节的学生身高、 13.3 节通过分层随机抽样抽取不同年级的学生测量其身高, 13.4 节绘制学生身高的频率分布直方图, 体重的茎叶图以及身高和体重的散点图, 13.5 节根据分层抽样得到的男生和女生身高的信息来计算原样本的信息, 以及 13.6 节调查、分析学生的体质健康, 贯穿了本章的内容.

本章还设置了“制作随机数表”“抽样调查本校学生的运动时间”和“调查本校学生户外活动的时间与视力”三个操作活动,使学生亲历抽样调查的过程,不断积累活动经验. 通过对数据的分析、整理, 得到数据所蕴含的信息, 初步培养学生运用统计思维思考现实世界中的问题, 运用统计方法分析、解决问题, 并用统计语言予以表达的能力.

真实的统计活动离不开计算机和统计软件. 本章共有三个利用信息技术的操作活动:“利用计算机或计算器产生随机数”“绘制统计图表”以及“计算样本数据的数字特征”,使学生充分认识到信息技术在统计中的作用,包括海量数据的整理、计算、可视化等, 在摆脱繁琐计算的同时, 也便于启发学生探索数据的规律, 有利于培养学生对数据的直观感悟. 由于涉及版权等问题, 教材中没有指明所用的统计软件, 教学中可以根据学校的实际情况介绍与演示相关统计软件.

本章的末尾提供了一篇阅读材料——“统计学与流行病的预防”,通过介绍霍乱罹患率与饮用水源距离之间的统计关系, 揭示了霍乱是通过饮用水传播的, 帮助学生理解统计学擅长揭示事物之间的关系, 而不是解释事物本身.

### 教学提示

在统计的教学中, 应关注学生对于概念、方法、结论等的统计意义的理解. 应重视信息技术的运用, 鼓励学生尽可能运用计算机或计算器处理数据, 不仅能避免繁琐的运算, 而且通过学生自己的观察、尝试、思考及分析, 给出判断, 更好地积累数据分析的经验, 体会统计思想. 例如, 在遇到计算样本量较大的数据的样本平均数、样本方差时, 可以利用计算机来实现; 观察改变一个或者多个样本数据时, 样本平均数、样本方差的改变, 进而体会样本平均数、样本方差的变异性.

对统计中的基本概念 (如总体与样本) 或方法 (如抽样方法) 等, 在引入严格定义的同时, 应结合大量的实例进行描述性的说明或解释. 在教学过程中, 教师应创设真实、丰富的问题情境, 帮助学生理解数据分析在大数据时代的重要性. 此外, 还应培养学生用统计的眼光去观察世界、发现问题, 用统计思维去分析问题, 用统计语言去表达问题.

统计学作为一门学科, 其核心是数据分析, 数据分析是指针对研究对象获取数据, 运用数学方法对数据进行整理、分析和推断, 形成关于研究对象知识的素养. 数据分析的培养应着重引导学生参与统计活动的全过程, 应充分运用真实的统计案例, 使学生亲身经历从实际的问题情境到提出统计问题, 再到数据的收集、整理、分析, 并进行推断、决策这样一个完整的过程, 使得学生不断积累数据分析的活动经验, 初步体会解决统计问题的一般过程与方法. 由于教材在编写体例上的限制, 教材中的例题和习题往往只表现统计活动的某个方面, 因此教学中应尽可能还原问题的背景与意义.

### 评价建议

本章的评价应关注以下几点:

(1)关注学生对于统计基本概念的理解,如对总体、样本、平均值等统计含义的理解, 淡化计算.

(2)关注学生统计思维和统计意识的培养,学生是否具有用统计眼光观察世界、 运用统计方法解决问题的意识,是否理解统计思维与传统数学思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异. 很多统计问题, 没有简单意义上的对与错, 只有结合具体情境或目标的好与坏. 比如, 对于一组数据, 往往可以用很多种统计图表来表示, 为了表达一种信息、解决某一问题, 用某些图表比较合适, 就可以说这些图表比较“好”.

(3)注重过程评价,作为高中数学学科核心素养之一,数据分析的主要表现为: 收集和整理数据, 理解和处理数据, 获得和解释结论, 概括和形成知识. 教学中可以围绕这些行为表现设计真实的情境,考察学生从实际问题中提炼有意义的统计问题、 运用数据分析的方法和思路解决问题, 并根据实际背景解释统计结果的能力.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 13.1 总体与样本

### 教学重点

通过实例分析, 了解现实生活中的很多实际问题可以转化为统计问题, 掌握总体、样本和样本量的概念, 理解总体和样本的关系. 初步感悟统计学研究对象的广泛性和不确定性.

### 内容分析

一般地, 当研究问题明确后, 研究对象的范围也随之确定, 研究对象的全体就是总体. 总体中的每一个对象叫做个体. 通常总体中的每个个体可以通过观测或实验对应成数值, 然后运用数学工具对这些数值进行处理, 产生一些统计量, 利用统计量去描述或推断总体的分布.

教材安排了四个有实际意义的问题情境和一道例题. 主要目的是感受统计研究对象的广泛性, 理解总体、样本与个体的关系及其统计意义, 初步认识统计量的作用, 感受统计中的变异性. 由于统计的问题情境一般都有背景介绍, 阅读量较大, 教学时应该引导学生在理解背景和问题的基础上, 明确相关的总体、个体与样本, 并在需要的时候添加适当的数据.

问题情境(1)考察学生的身高,可以根据具体的研究问题确定总体与样本. 比如, 想了解学生自己班级的身高情况,那么全班同学的身高就是总体,每个同学的身高是个体. 通过测量每个同学的身高可以得到一组数据, 通过对数据的分析可以了解本班同学的身高情况,如平均身高是多少,最高和最矮的是多少等,这些都属于统计量. 由于测量会有误差, 因此数据具有变异性, 对应的统计量也会变异. 如果考察的是上海高一学生的身高,那么总体是全体上海高一学生的身高,本班同学的身高是这个总体中的一个样本, 虽然也可以用本班的数据来推测上海全体高一学生的身高情况, 但由于样本量较小, 并且具有较大的随机性, 因此这种推测可能会产生误差.

问题情境(2)是关于我国四年级、八年级学生体质健康状况的调查,其结果具有普遍意义,从而可以作为一种标准. 在这个问题中,总体的容量很大,为了提高效率、节约成本,研究者抽取了部分学生 (572 314 名) 进行调查. 这里抽取的部分学生即是总体的一个样本, 如果样本具有很好的代表性, 就可以通过分析样本数据来推测总体的分布, 从而制定我国学生的体质健康标准. 用少量的样本数据推测总体的情况, 正是统计的价值所在.

问题情境(3)考察的是小明从家到学校所需的时间,因为时间是一个连续量,所以这是一个无限的总体. 因为小明有两种走法, 所以这里涉及两个总体, 小明的目的是对这两个总体进行比较. 为此他分别记录了两种走法各 50 次所花的时间,得到了两个针对不同总体、容量都为 50 的样本. 通过分析样本数据来推测总体的分布特征, 进而通过某种统计量来比较两种走法的优劣. 例如, 可以通过样本的平均数来比较两种走法的平均用时, 通过样本的方差比较两种走法的稳定性等.

问题情境(4)中的总体是某银行客户对柜台服务的满意程度,而某工作日 100 位客户的评分是其中的一个样本. 这里的评分一般用数字 1 ~ 5 表示,其中数字 1 表示 “非常满意”,2 表示“比较满意”,3 表示“一般”,4 表示“不满意”,5 表示“非常不满意”. 这些数字表示的是对应引号内的等级, 称为等级数据 (或顺序数据), 属于分类数据的一种. 另一种分类数据则不能区分等级, 如人的性别可以分为 “男”“女”两类, 虽然也可以用 “1” “2” 表示,但不具有等级的意义. 数值型数据与分类数据所适用的统计方法有所不同.

本节只给出了一道例题, 目的是为后面的练习与习题起示范作用.

从上述问题情境与例题可以看到, 统计学的研究范围是很广的, 针对不同的研究问题, 有不同的总体. 由于总体通常是未知的, 需要通过样本来描述或推断, 而样本具有一定的随机性, 样本数据是对其中每个个体的观测或实验的结果, 也有一定的变异性. 因此, 统计的研究对象和方法与传统数学内容相比有较大的差异.

### 注意事项

本节的重点是通过个体、总体和样本理解统计学的研究对象, 感悟统计学中的广泛性与变异性.

按照教材的定义,我们把所有研究对象的全体叫做总体. 考虑到研究对象的概念比较宽泛,为了减少混淆,我们建议对调查对象、研究问题与统计(数据分析)的对象作适当的区分. 例如, 在问题情境(2)中, 调查对象是 2018 年度我国四年级、八年级的学生, 研究的问题是学生的体质健康状况, 考察的指标是肺活量、 50 米跑等. 针对每个指标, 被调查的学生都对应一个数据, 这些数据才是统计研究的对象, 它们全体就构成了针对该指标的数据分析的总体.

为了区分总体与样本, 统计学中一般会对一些相关的“指标”进行区分. 若用于描述总体,则叫做总体参数；若用于描述样本,则叫做样本统计量. 例如,平均数是反映样本集中趋势的一个统计量, 可以通过计算获得, 均值则是反映总体的期望, 是总体参数. 它是一种加权平均, 与概率有关, 一般不能直接计算. 对于这些比较专业的说法, 教学中可以适当地淡化, 只要学生能够大致理解其统计意义即可.

### 教学建议

对于总体、样本和样本量等基本概念, 在引入定义后应结合具体问题进行释义, 帮助学生理解; 也可以先结合具体问题进行描述性说明, 在此基础上再引入严格的定义.

要让学生感受到统计的价值就是以小见大, 即通过一个相对较小的样本数据去描述和推断一个容量较大的总体的情况, 获得针对总体的一些统计结论. 这样既可以节约成本、提高效率, 也可以完成一些在总体上“不可能完成的任务”. 例如, 要考察某工厂生产的一批灯管的防爆性能,需要做破坏性的实验,当然不可能把所有灯管都 “破坏”一次. 但这种以小见大的做法属于归纳推理, 会带来一定的风险. 要减少风险, 就需要对样本的代表性及数据的可靠性有一定的要求.

此外, 本节所举的例子均为学生日常生活中常见的一些问题, 在课堂上也可以增加一些关于科学、技术、工程等不同情境的例子, 尤其是大数据相关的例子, 使学生感受到统计已经深入到现代社会的各个方面.

对于体质健康状况这个例子, 总体的容量具体是多少, 这里可以埋一个伏笔, 在 13.2 节中, 学生将会学习通过统计年鉴等获取一些统计数据.

#### 13.2 数据的获取

### 教学重点

能够根据收集数据的不同方法, 判断所收集的数据类型是观测数据还是实验数据, 知道获取数据的基本途径包括普查、抽样调查以及统计报表、年鉴或互联网等, 知道普查和抽样调查的优缺点.

根据实际调查的问题理解数据的意义, 初步感悟数据的变异性和数据来源对形成统计结论的重要性.

### 内容分析

在统计研究中, 首先遇到的问题是如何获取数据. 根据数据收集方法的不同, 主要分为两类, 一类是通过调查收集数据, 一类是通过实验制造数据. 前者我们称为观测数据, 后者称为实验数据. 这里要注意的是, 观测数据和实验数据这两个概念本身并不是教学重点, 只是这两类数据往往有不同的分析方法.

观测数据的获得可以是普查, 抽样调查, 也可以是通过统计报表、年鉴或互联网等途径获取. 教材通过大家熟悉的全国人口普查来引入普查的概念及特点,然后通过突出普查的一些限制来引入抽样调查的必要性和重要性; 通过抽样调查来估计 LED 灯管的使用寿命, 使学生理解抽取的样本必须能够反映总体的特征, 也即是抽取的样本要具有代表性, 让学生初步体会样本的代表性与统计推断结论的可靠性之间的关系.

例 1 要求区分所要收集或者已经收集到的数据是观测数据还是实验数据, 两者的区别主要在于是否仅仅是通过观测得到的, 还是在某种实验设计下通过操作或者控制实验对象所得到的. 无论是全国人口普查, 还是考察 LED 灯管的使用寿命, 都是通过观测现实世界时收集到的数据, 是观测数据. 当想要寻找造成结果的原因, 如每天服用一定剂量的维生素C能否预防感冒,也就是说每天服用了一定剂量的维生素C和感冒预防是否具有因果关系, 这时需要进行对照实验: 控制一个变量, 让一部分人每天服用一定剂量的维生素C,另一部分人不服用维生素C,然后观察实验结果,即两组对象的感冒发病情况, 此时得到的数据即是实验数据. 实验是检验因果关系的一种研究方法, 也即是说要确定因果关系, 需要通过随机对照试验.

例 2 主要是示范如何通过互联网来获得来源可靠的已有的统计数据, 这也是互联网时代获取数据的一种重要方式. 我们可以从互联网上获取国家(或者地区)统计局定期开展的调查数据(如统计报表)或收录的经济、社会等各个方面的统计数据(如年鉴),以及企业的调查报告、文献,等等. 这些数据都是间接获取的,也称为二手数据. 通过查询来获取数据的成本较低, 但需要核实数据的来源、真实性、适用性等.

### 注意事项

根据数据的收集方法, 我们可以将数据分为观测数据和实验数据. 事实上, 数据的分类方式还有很多, 如根据所采用的计量尺度不同, 我们可以将数据分为分类数据、顺序数据和数值型数据. 并且对于不同类型的数据, 往往需要采用不同的统计方法来处理和分析.

变量也是统计中的基本概念, 它是反映数据变异性的概念. 例如, “学生的身高” “LED灯管的寿命”等都是变量. 对于同一个变量, 不同的个体可能有不同的取值. 样本中所有个体在一个变量上的取值就构成了一组样本数据. 例如, 通过测量本班所有同学的身高,就得到了本班同学“身高”这个变量的一组数据.

一般的数值型数据, 无论是观测得到还是实验结果, 在测量时都会产生误差. 例如, 测量身高时, 由于测量仪器或观测的原因, 得到的数值与实际的身高之间会产生一定的差距. 如果这种差距是不可预测的, 有时多一点, 有时又少一点, 我们就把这种误差称为随机误差. 随机误差往往是不可避免的, 减少随机误差的常用方法是多次测量, 取其平均数. 如果每次测量的结果都比实际数值多, 那就属于系统误差, 也称偏差. 当随机误差比较小时, 我们说测量是可靠的; 当系统误差比较大时, 我们会认为测量结果不可信. 因此, 在获取数据时, 应该尽可能避免系统误差, 减小随机误差.

### 教学建议

数据是数据分析的基础, 没有数据, 数据分析就是无米之炊. 在教学过程中, 要注意以下几个方面:

(1)让学生知道数据无处不在,我们可能从连续几个月的报纸或电视中看不到一个数学公式, 但可以肯定, 每天都一定会看到各种各样的数据. 通过让学生认识各种各样的数据, 培养学生对数据的感悟能力.

(2)知道数据的来源很重要,数据的真实性与可靠性会影响到统计的结果. 在统计学界有一个普遍的说法:数据不会骗人,骗人的是会利用数据的人.

(3)能够理解数据蕴含着信息,统计中的数据与数学中的“数”是不同的,每个数据都有真实的背景, 需要通过背景来理解或解释数据的意义.

(4)能够理解数据中的随机性是联系概率与统计的桥梁.

#### 13.3 抽样方法

### 教学重点

通过实例, 了解简单随机抽样的含义及过程, 掌握两种简单随机抽样的方法: 抽签法和随机数法. 通过实例, 了解分层随机抽样的特点和适用范围, 掌握各层样本量比例分配的方法. 能根据实际问题的特点, 设计恰当的抽样方法解决问题.

简单随机抽样是最基本的抽样方法, 在分层抽样中, 在每一层抽取样本时, 也要使用简单随机抽样的思想.

### 内容分析

在上一节, 学生了解到可以通过抽样调查来获取样本. 本节开头以河中取水的例子来形象地说明, 要使样本能够反映总体的分布特征, 必须使抽取的样本具有代表性. 但是抽样前我们并不知道总体的分布情况, 因此要用随机抽样来克服抽样者由主观性产生的偏差. 然后引入本节将要介绍的两种常用的随机抽样方法.

简单随机抽样是一种简单且基本的抽样方法, 是很多抽样方法的基础. 本节首先介绍了简单随机抽样的概念, 然后通过从牛奶箱中抽查牛奶为例来介绍利用抽签法抽取样本的过程, 从制作号签和抽签的过程可以知道抽签法仅适用于容量不大的情形. 接着引入适用于总体容量较大时的随机数法. 随机数法克服了制作号签和搅拌号签的成本, 也避免了号签搅拌不均匀的情况.

抽签法和随机数法本质上都是产生随机数, 它们都是通过对个体进行编号, 然后用随机产生的号码 (随机数) 代表要抽取的个体的编号. 抽签法简单易行, 日常生活中比较常见. 随机数法则适用于总体容量较大的情形, 随机数不仅可以通过试验生成, 也可以利用计算器、软件等生成, 方便快捷. 教材以举例的形式简述了抽签法的步骤, 在教学时也可以将抽样过程细化为如下三步:

第一步: 将总体的所有 $N$ 个个体从 1 到 $N$ (或者从 0 到 $N - 1$ )进行编号;

第二步:准备 $N$ 个号签分别标上这些编号,并将其放在容器中搅拌均匀,每次抽取一个号签,不放回地连续取 $n$ 次;

第三步: 取出的 $n$ 个号签上的号码所对应的 $n$ 个个体即为所抽取的样本.

简单随机抽样使得总体中的每一个个体被抽中的机会均等, 从而避免了人为造成的抽样偏差, 但是并不意味着抽取的样本一定具有代表性. 由于抽样的随机性, 抽取的样本有可能出现偏离总体的情形. 教材以“了解高一年级新生的身高情况”为例, 当总体中个体之间差异比较大时, 由于样本抽取具有随机性, 因而简单随机抽样可能导致出现“坏”样本,如可能出现大部分都是高个子或者矮个子的样本,用这样的样本来估计总体就会出现偏差. 因而当总体中个体差异比较大时, 我们可以借助已知的辅助信息“男生的身高和女生的身高具有比较大的差异” 将总体分组(层),分成“男生组”和 “女生组”, 使得在同一组的个体具有相同的特征, 组内差异较小. 此时, 再对各组进行简单随机抽样, 抽取的样本分布在各组中, 从而不会出现某一组的代表被选取得太多或太少,因而可以减少“坏”样本出现的可能性,使得样本具有更好的代表性.

例 1 和例 3 分别让学生熟悉简单随机抽样和分层随机抽样的步骤, 使学生获得抽样的经验. 例 2 是对简单随机抽样的概念辨析, 例 4 则是考察学生能否根据实际问题的特点选择恰当的抽样方法.

利用计算机或计算器产生的随机数, 是按照一定的算法模拟产生的, 所以说是一种伪随机数, 不过它们在统计性质上与真正的随机数几乎没有差别, 因此被广泛应用.

### 注意事项

要理解抽样方法, 首先需要理解为什么要抽样. 从本质上看, 统计研究的目标是分析总体的参数, 进而确定总体的分布. 虽然总体参数在理论上是确定的, 但实际上却很难或者不可能获取. 例如, 2020 年全国人均消费一定是个确定的数值, 因为人数是确定的, 每个人一年内的消费也是确定的, 但显然不可能算出这个数值. 这就需要通过样本来估计. 样本一旦确定, 就可以算出统计量; 而当样本变化时, 统计量也会发生变化. 因此, 我们需要考虑如何抽样才能使得样本的统计量最有可能表示总体的参数, 或者说减少样本统计量与总体参数的偏差. 研究表明, 采用简单随机抽样, 可以得到总体参数的无偏估计.

一般来说, 大样本统计量的变异要小于小样本, 这样用大样本统计量就越有可能准确估计总体参数. 但在实际抽样时, 样本容量的大小应当根据取样的成本以及实际问题所允许的误差范围 (通常用置信区间表示) 确定, 并不一定是样本的容量越大越好.

在介绍利用随机数表法产生随机数时, 关于如何确定随机数表号与初始点, 其实现的方法有很多种. 例 1 所提到的 “在随机数表中从任意一个随机数开始”, 此外可以参考《中华人民共和国国家标准》“随机数的产生及其在产品质量抽样检验中的应用程序"(GB/T10111-2008).

在分层随机抽样计算各层应该抽取的个体数目 ${N}_{i} \times  \frac{n}{N}$ 时,学生遇到的题目中一般 ${N}_{i} \times  \frac{n}{N}$ 都为整数,但在实际应用中经常会遇到 ${N}_{i} \times  \frac{n}{N}$ 不是整数的情况,此时可以先取 ${N}_{i} \times  \frac{n}{N}$ 的整数部分进行样本量的分配,对于剩余的样本量,再按各层 ${N}_{i} \times  \frac{n}{N}$ 小数部分的大小从大到小进行分配,使得各层所抽取的个体之和为 $n$ 即可. 事实上,分层随机抽样适用于总体较大的情况,此时,样本量也较大,一层多抽取一个或少抽取一个对估计的准确性影响很小.

与“二期课改”教材相比,本教材对系统抽样不作要求.

### 教学建议

在教学中, 应引导学生体会随机抽样的必要性和重要性. 要使得样本能够反映总体的分布特征, 必须使抽取的样本具有代表性, 但由于总体的分布情况未知, 因此要用随机抽样来克服抽样者由主观性产生的偏差. 在引导学生感受随机抽样所得到的样本具有随机性时,可以联系第 12 章概率初步,从 $N$ 个相同的小球中任意抽取 $n$ 个, 其样本空间有多少个元素, 也即是有多少个样本, 以及抽到相同样本的概率有多低.

在教学过程中, 可以利用例题、课堂练习题等, 组织学生用抽签法、随机数表法, 或统计软件生成的随机数来选取样本, 使学生在课堂上体会随机抽样的过程, 获得随机抽样的活动经验.

本节有两个操作活动, 一个是制作随机数表, 一个是抽样调查本校学生的运动时间. 制作随机数表的活动可以在课堂上让学生分组进行, 使学生感受随机数的 “随机性”. 抽样调查本校学生的运动时间是本章的第一个统计实践活动, 操作提示引导学生根据性别和年级进行分层, 不仅可以帮助学生学习如何进行分层随机抽样, 而且使学生参与到统计活动的真实情境中, 同时也为后面的操作活动做好准备. 这个活动需要教师提供每个年级的学生名单等相关信息. 获取样本数据后, 还可以让学生计算各自所抽取的样本的平均数, 从而得出结论: 虽然样本容量相同, 但是由于各个样本是不同的, 其平均数等往往是不同的. 让学生切身感受到样本的随机性及样本统计量的变异性.

#### 13.4 统计图表

### 数学重点

学会制作频率分布表, 绘制频率分布直方图、茎叶图和散点图, 体会它们各自的特点和适用范围. 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等都是表示样本分布的方法, 在学习过程中体会分布的意义和作用, 为下一节用样本分布估计总体分布做好铺垫.

要求根据不同的问题选择不同的统计图表, 会制作统计表, 绘制统计图, 并用简单的语言描述统计图表呈现的信息.

### 内容分析

在本节的引言中我们讨论了通过随机抽样获取数据之后, 还需要在数据中寻找所包含的信息. 在数据文件中可以直接看到数据, 但是数据往往很多, 甚至是海量的, 以至于我们无法全部理解, 因此必须要有一些方法使我们能够从数据中提取信息, 并转化为可用的形式. 统计表把看起来杂乱无章的数据有条理地组织在一张简明的表中, 统计图则把数据形象地呈现出来, 使得数据一目了然、清晰可懂.

教材列出了通过抽样调查获得的 66 名学生的身高和体重数据, 通过探究学生的身高和体重的分布,引导学生制作频率分布表,绘制频率分布直方图. 在初中阶段, 学生已学习过频率分布表和频率分布直方图,但仅仅是识表和识图,高中阶段则进一步要求学生学会制作(绘制)统计图表.

与初中学习的频数分布表 (频数分布直方图) 相比,频率分布表 (频率分布直方图) 的区别在于, 前者是统计数据落在各个小区间的频数(频数/组距), 后者是统计数据落在各个小区间的频率(频率/组距). 我们可以用样本在某个区间内的频率来估计总体在相应区间内的比例, 但是无法用样本在某区间的频数直接估计总体在相应区间内的频数, 需要将样本在某区间的频数乘样本容量与总体容量的比例, 而总体的容量我们往往不得而知. 此外, 频率分布直方图的纵坐标是用 “频率/组距”, 而不是直接用 “频率”. 这是因为, 当纵坐标是“频率/组距”时, 全部小长方形的面积之和为 1 , 这与总体落在全部取值范围内的频率之和为 1 是一致的.

第二课时介绍了另外两种常见的统计图:茎叶图和散点图. 茎叶图将数组中的数按位数进行比较, 将数的大小基本不变或变化不大的位数作为一个主干(茎),将变化大的位数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面有几个数,每个数具体是多少. 茎叶图其实是“侧躺”的直方图,“茎”相当于频数分布表中的分组, “茎”上“叶”的数目相当于频数分布表中指定区间组的频数. 茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的. 茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信息,可以边抽样边记录,适合用于数据量较少的情形；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息, 必须在抽样完成后才能制作. 由于茎叶图记录了所有的样本数据, 因此通过茎叶图可以制作频率分布表和频率分布直方图, 反之则不可以.

例 1 旨在进一步熟悉茎叶图的画法, 并且对于同类型的数据可以共有一个“茎”, 画在一张图上, 进而可以对其分布进行大致地比较.

前面介绍的统计图描述的都是单个变量的数据, 散点图不同于前面介绍的图, 它是在二维坐标系上展示两个变量之间的一种图形, 横轴代表一个变量, 纵轴代表另一个变量,每组数据在坐标系中用一个点表示, $n$ 组数据在坐标系中形成的 $n$ 个点称为散点, 由坐标及散点形成的数据图称为散点图. 这里还需要注意, 散点图用于描述成对数据, 也就是说每对数据都是同一个研究对象的数据, 如 A 校学生的身高和体重, 而 A 校学生的身高和 B 校学生的身高则不是成对数据, 自然也就无法用散点图来描述.

教材仍以 A 校 66 名高一年级学生的身高和体重为例, 来说明如何绘制散点图, 以及从散点图中可以看出身高和体重具有一定的关系:身材较高的人,体重往往也较重. 例 2 通过画出钻石的质量和颜色与钻石的价格的散点图, 并观察随着钻石的质量和颜色的变化, 钻石的价格是如何变化的. 通过身高和体重的散点图以及例 2 , 可以看出通过绘制散点图我们可以大致判断两组数据的关系, 这个“关系”也是我们在选择性必修将要学习的两组数据之间的“相关”关系.

### 注意事项

统计图表是数据组织的一种可视化工具, 其主要作用是直观地描述数据的分布. 要注意各种统计图表的特征与适用范围. 例如, 初中阶段学习的饼图与条形图适用于分类数据, 其中饼图主要描述某个整体的各个部分所占的百分比, 条形图适用于显示各个项目之间的比较情况. 折线图可用于考察统计变量随时间推移而变化的情况. 而本节学习的直方图则是描述数值型变量分布的最常用的方法; 茎叶图可以显示数据的更多的信息, 常用于比较同一个变量的两组数据的分布情况, 也容易转化为直方图, 但通常用于容量较小的样本; 散点图的目的是考察两个变量之间的关系, 在选择性必修的统计部分, 我们将利用成对数据的散点图判断两个变量是否线性相关.

茎叶图中数据的茎和叶的划分,可以根据数据的特点灵活地决定,但需要注意茎叶图上每个枝上的叶的位数一般不超过 1 , 否则我们就不易从图中发现数据分布的特点了.

在观察与解释统计图时, 一般要注意三个方面: 一是图的一般形态, 如是否两边对称, 是否“单峰”; 二是异于一般形态的显著偏差, 如显著右偏; 三是有无异常值落在一般形态之外.

在频率分布直方图的基础上可以画出频率分布折线图, 样本的容量越大, 分组越多, 这条折线就越光滑, 也就越接近密度曲线. 需要注意的是, 在一般的统计软件中, 密度曲线是直接根据数据绘制的, 不必通过频率直方图.

### 教学建议

频率分布直方图的形状与组数 (组距) 有关, 对于同一组数据, 当频率分布直方图的组数少、组距大时, 会导致直方图中少数矩形的高度较高, 且无法看出每组内的数据分布情况; 反之, 如果组数过多, 可能会导致一些组内的数据太少, 使得整体形状 “起伏”较大. 频率分布直方图的外观还和坐标系的单位长度有关, 在教学中可以让学生自己分不同的组数 (可利用统计软件) 来绘制频率分布直方图, 并对不同的分组所绘制的频率分布直方图进行比较.

在教学中, 引导学生针对实际问题的需求, 根据各种统计图表的特点及使用范围选择适当的统计图表呈现数据, 并用语言简单地描述统计图表所呈现的信息. 由于制作统计图表的操作性很强, 在教学中应鼓励学生自己动手制作统计图表, 熟练后可以让学生尝试用计算机软件来绘制图表.

这一节的操作活动是要调查本校学生的户外活动时间与视力的关系, 学生可以利用上一节的随机抽样获得的样本来进行调查. 根据调查所获得的数据绘制合适的统计图表, 探究本校学生的户外活动时间、视力分别有什么样的规律, 初步猜测户外活动时间和视力可能具有什么样的关系,为以后的相关分析做铺垫. 此外,还可以引导学生通过查阅文献资料, 来比较调查所得到的结论与文献资料的结论是否一致, 如果不一致,思考原因.

#### 13.5 统计估计

### 教学重点

体会总体分布的意义和作用,理解集中趋势参数、离散程度参数以及百分位数是描述总体分布的数值方法.

体会用样本估计总体的思想, 结合实例, 会用样本的频率分布估计总体分布, 会用样本的集中趋势、离散程度以及百分位数来估计总体的集中趋势、离散程度以及百分位数.

其中, 百分位数是数据分析中很常用的一个量, 是国家课程标准中新增的内容, 随着大数据时代的到来, 百分位数显得越来越重要.

### 内容分析

对总体分布的刻画主要有两个途径,一个是利用频率分布表和频率分布直方图、 密度曲线描述总体的分布规律; 另一个是利用统计参数, 如均值、标准差、百分位数等描述分布的数字特征. 本节通过某医学期刊的调查结果推测我国成年人患高血压的人数, 来说明当总体的信息难以或者无法获取时, 可以通过随机抽样获取具有代表性的样本, 利用样本的信息来估计总体的信息. 在初中基础上, 本节进一步学习刻画数据统计特征的方法, 并用样本统计量来估计总体参数.

在“估计总体的分布”中, 首先通过举例来说明总体分布的含义, 然后介绍用样本估计总体的思想来源:依据大数定理,如果样本数据是随机抽取的,那么当样本量不断增大时, 样本的频率分布可以看作是总体分布的近似, 从而可以用来估计总体的分布.

例 1 以“某高校 100 名女大学生的每日摄取热量”这个样本的频率分布表来估计 “该高校全体女大学生”这个总体的分布. 此外, 也可以用频率分布直方图来估计. 频率分布表和频率分布直方图都是分布的一种呈现方式, 我们可以根据实际需要选取. 接着介绍了总体密度曲线, 总体密度曲线描绘的是总体的分布, 即反映了总体中的个体落在各个范围内的概率. 如果总体的分布已知, 就可以得到总体密度曲线的函数表达式, 从而画出精确的密度曲线. 在实际情况下总体分布往往是未知的, 这时候频率分布折线图可以作为它的一种近似.

在“估计总体的数字特征”这一节中,我们用样本统计量来估计总体参数. 教材首先给出刻画或描述一组数据的两个角度:一个是集中趋势,如平均数、中位数、众数; 另一个是离散程度, 如极差、方差、标准差等. 这些我们都称之为统计变量的数字特征.

引例通过某公司 15 名员工的薪资水平来估计该公司的薪资水平, 这里就是用一组数据的集中趋势——众数、中位数和平均数——来衡量薪资水平的. 关于众数、中位数和平均数, 应注意以下几点:

(1)能正确认识“薪资水平”等关于“平均”的模糊性的表述,它可以是指平均数, 也可能是指众数或中位数. 使用者往往是选取符合自己利益的描述数据中心位置的数字特征, 应学会甄别.

(2)样本的众数和中位数都只能表达样本数据中很少一部分信息,不易受极端值的影响. 平均数受样本中的每一个数据的影响, 因而对极端值比较敏感.

(3)平均数和中位数的大小关系可以帮助我们分析数据中的极端值的情况. 如果样本平均数大于样本中位数, 说明数据中存在许多较大的极端值; 反之, 说明数据中存在许多较小的极端值.

例 2 要求通过样本的频数分布表来估计总体的集中趋势. 我们知道, 样本的平均数、中位数和众数可以作为总体均值、中位数和众数的估计. 但是当无法获知样本的原始数据时, 我们还可以根据样本的统计图或者统计表来估计样本的集中趋势. 在例 2 的频数分布表中, 我们无法知道每个组内的数据是如何分布的, 此时可以假设它们在组内均匀分布, 故可以用区间中点 (也称为组中值) 近似, 这样就可以得到样本平均数的近似估计, 进而估计总体均值. 同理, 我们也可以通过样本的频率分布直方图等来估计样本的集中趋势, 进而估计总体的集中趋势.

方差、标准差、极差均为样本数据离散程度的统计指标. 极差作为一种“自然”的度量数据离散程度的指标, 只涉及了数据中最大、最小两个值的信息, 没有涉及其他数据的取值情况,所含的信息量较少. 而样本的方差和标准差,从公式可以看出,它们反映了样本中每一个数据与样本平均数的“距离”,标准差越小,表明样本中的数据越“靠近”样本平均数, 样本中的各个数据在样本平均数的周围越集中. 它们是用来描述样本数据最常用的方法, 在实际应用中, 标准差往往用于衡量一组数据的稳定性.

例 3 是分层抽样时常见的问题情境: 知道分层抽样每一层的样本量、样本平均数和方差, 但由于某种原因原始数据不可得, 如何计算所有数据的样本平均数和方差. 例子借用表 13-2 所列按性别分层随机抽样的 A 校 66 名高一学生身高数据完成这样的计算, 即只用男生和女生的样本量、样本平均数与方差, 而不引用原始的身高数据来计算全部 66 个样本的样本平均数与方差. 因为计算过程必须使用求和符号 “ $\sum$ ”, 本教材提前在定义样本平均数时介绍了这个符号 (以分散难点), 并在方差和标准差定义中给出了用求和符号表示的式子, 让学生逐步熟悉. 求和符号的介绍以够用为准, 不要冲淡统计学习的主题.

边框提请注意, 每个分层的样本量在解决问题中也不是必要的, 只要知道了每层样本量之比就可以了. 下面多层抽样中依然如此.

虽然例 3 只对具体问题推导和计算, 而且只涉及两个分层, 但实际上这里的方法是通用的,容易推广: 如果将总体分为 $k$ 层,第 $j$ 层 $\left( {j = 1,2,\cdots , k}\right)$ 抽取的样本为 ${x}_{j1}\text{、}{x}_{j2}\text{、}\cdots \text{、}{x}_{j{n}_{j}}$ ,从而这一层的样本量是 ${n}_{j}$ . 设其样本平均数为 ${\bar{x}}_{j}$ ,样本方差为 ${s}_{j}^{2}$ . 记 $\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{n}_{j} = n$ ,它是总的样本量,模仿例 3 的推理过程可以得到所有数据的样本平均数和方差:

$$
\begin{gather} \bar{x} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}\mathop{\sum }\limits_{{t = 1}}^{{n}_{j}}{x}_{jt} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}\left( {{n}_{j}{\bar{x}}_{j}}\right) , \\ {s}^{2} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}\mathop{\sum }\limits_{{t = 1}}^{{n}_{j}}{\left( {x}_{jt} - \bar{x}\right) }^{2} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{n}_{j}\left\lbrack  {{s}_{j}^{2} + {\left( {\bar{x}}_{j} - \bar{x}\right) }^{2}}\right\rbrack  . \end{gather}
$$

在这个推广过程中, 无论分成几层, 推导和计算上没有实质差异. 但需要注意的是, 当层次较多时不得不使用双重求和符号, 数学符号比较繁杂, 要充分考虑到学生的理解力, 谨慎处理. 例如, 可以在两层(至多三层)的情况下把例题的具体数字推广到字母表达.

例 4 是通过所抽取的 10 棵苹果树的产量的平均数来预估该果园 120 棵苹果树的产量. 此外, 我们还可以将已发生的事件所产生的数据作为样本数据, 把包含将要发生的事件的所有数据作为总体来估计. 比如, 我们可以用运动员以往的成绩来估计他将要参加比赛的成绩, 当然, 这里我们假定运动员发挥稳定.

百分位数是新课标增加的内容, 它是数据分析中很常用的一个量, 随着大数据时代的到来, 百分位数显得越来越重要. 虽然百分位数的定义适用于任何一组数据, 也就是说任何一组数据都存在任意的百分位数, 但是百分位数主要应用于数据量较大的时候, 这是因为百分位是用来 “定位”的. 对于一组数据, 我们对它进行有序排列 (从小到大或者从大到小), 如果知道某几个百分位数的值, 也就知道了这些数在这个排列中处于什么位置, 进而对这组数据的分布也就有了一定的概念. 类似于数据的集中程度和离散趋势, 教材中给出的是一组数据的百分位数的定义, 如果这组数据是样本值, 那么该定义就是样本的百分位数, 它是样本的一个统计量, 随样本的不同而改变, 可以用样本百分位数估计总体百分位数.

我们在初中已学习了中位数, 中位数是第 50 百分位数, 它与第 25 百分位数、第 75 百分位数将一组由小到大排列的数据分成四个相等的部分, 因此称为四分位数. 其中, 第 25 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数, 第 75 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 此外, P1、P5、P95 和 P99 也都是统计中常用的百分位数.

例 5 体现了百分位数的“定位”作用, 只要知道自己的身高所处的百分位数, 或者百分位数的区间, 也就大致知道了自己的身高在人群中的位置. 百分位数用途很广泛, 如很多大型考试, 如果我们知道了某个成绩所处的百分位数, 也就是知道了成绩的大致排名位置.

例 6 的“如何确定阶梯电价的电量临界值”可以转化为“如何确定该市居民用电量的百分位数”, 也就是求总体分布的百分位数. 如何确定阶梯电价的问题就转化为用样本的数字特征来估计总体的数字特征, 也即用收集到的“200 户居民的用电量”这一样本的百分位数来估计“该市居民用电量”这个总体的百分位数,从而确定阶梯电价的电量临界值. 在实际应用中, 很多统计问题的解答都可以转化为估计总体的分布信息.

### 注意事项

一些常见的分布可以由总体参数完全确定, 因此, 可以通过样本估计总体参数, 从而确定总体的分布. 例如, 假设已知总体服从正态分布, 而正态分布由总体均值与方差确定, 所以只要通过样本平均数和方差估计总体均值与方差即可. 因此, 参数估计是统计推断的核心任务之一.

对于样本的方差,通常有两种表达方式: $\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}$ 和 $\frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}$ , 当样本量很大时, 两者相差不大. 如果只是要描述样本数据间的离散程度, 那么采用 $\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}$ ; 对于有放回简单随机抽样得到的样本, $\frac{1}{n - 1}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}$ 是总体方差的无偏估计, 很多软件用此作为样本方差的计算公式, 在使用时需要注意.

在正在修订的九年义务教育数学课程标准中, 引入了箱线图的概念. 这是一种通过样本的五个特征值(即最小最大数和三个四分位数)直观描述分布的方法,常用于同一变量的两组数据的比较. 百分位数除了教材上的定义以外,还有其他不同的定义, 不同软件计算百分位数的方法也不同. 如果一组数据个数比较少, 那么不同的定义得到的结果可能相差很大; 当数据量很大时, 每种定义的结果都很接近.

### 教学建议

在教学过程中, 需要强调的是, 对于一个具体的统计问题, 总体的分布、集中趋势、离散程度以及百分位数等在理论上都是确定的, 但往往是未知的, 需要我们通过样本去估计. 而样本具有随机性, 所以样本的分布、集中趋势、离散程度以及百分位数等都有随机性. 所以说, 由样本推断总体时, 其统计结果不是确定的, 具有或然性.

我们知道平均数会受样本中每一个数据的影响, 而中位数和众数则不易受到极端值的影响, 在教学过程中可以利用计算机模拟, 向学生展示改变样本中的某个数据对于它们的影响, 如理解一些体育比赛中要去掉一个最高分和一个最低分的原因.

在教学中还应强调, 在现实生活中遇到的看似非统计的问题可以转化为统计问题, 而统计问题的解答需要知道总体分布的某些信息, 由于总体分布往往很难获得, 故需要用样本来估计.

#### 13.6 统计活动

### 教学重点

本节是一个统计活动课. 学生身体综合素质如何, 不仅是每位学生、家长关心的, 也是社会和政府所关注的问题. 教材围绕完成一份“高一年级学生的体质健康报告”展开,让学生经历从实际问题出发,首先思考监测体质需要监测哪些指标开始, 然后上网查阅《国家学生体质健康标准》,制定活动计划,即“明确研究问题一设计调查方案一收集数据一整理与分析数据一初步结论”,最后按计划实施,经历完整的统计过程. 在不断积累统计活动经验的同时, 增强学生的统计意识, 加深理解统计思想与方法, 发展学生的统计观念.

### 内容分析

教材安排这个统计活动, 一方面是在前面学习了获取数据的基本途径及相关概念, 抽样、统计图表、用样本估计总体等统计的基本知识和基本技能之后, 在此通过统计活动的方式进行知识总结和综合应用; 另一方面在积累基本活动经验的同时, 让学生应用所学的统计基础知识和基本技能去发现问题、分析问题和解决实际问题, 在体会统计与现实生活密切联系的同时, 培养学生的理性思维, 明确统计活动的几个主要步骤, 在活动中认识到统计发挥的作用, 针对不同的问题选择合适的统计方法, 在这一系列过程中发展学生的统计观念, 提高数据分析和处理的数学素养.

练习 13.6 第 1 题是调查本班学生的体重和平均每日课外体育活动时间, 目的是应用统计方法研究这两组数据的关系,一方面培养学生的统计意识,另一方面复习前面的散点图知识. 练习 13.6 第 2 题让学生思考一个统计活动主题, 从而按照教材介绍的统计活动基本步骤完成任务, 是一个开放题. 一方面复习本节的内容, 另一方面巩固建立的统计观念、统计知识和思维方式.

习题 13.6A 组有两道题目, 第一题比较简单, 第二题需要设计统计活动, 具有一定的思维量. B 组也有两道题目, 第一题是 “调查上海市小型乘用车的销售情况”, 涉及的统计知识有如何获得数据、分析数据等, 进而解决问题. 该问题与学生的实际生活联系紧密,有利于巩固学生的统计知识、统计意识和统计思维. 第二题是讨论影响健康因素的问题, 也是一个开放题. 影响健康的因素很多, 习题通过让学生记录一天的睡眠、运动、娱乐和学习时间,进而思考哪些可以作为统计问题,此题对培养学生的问题意识有积极作用. 习题体现了一定的层次性和拓展性.

### 注意事项

从统计活动的要求上, 教材也涉及了不同的层次. 这里的统计活动, 教材只是给出了活动的主要步骤, 数据的收集、整理、呈现、分析以及得出结论的过程, 具体操作希望通过学生的活动自己来完成, 并在此基础上能进一步发展他们的统计意识.

### 教学建议

教师可以在前一节课结束时让学生在“学生体质健康网”上下载《国家学生体质健康标准》.

课前,在进行统计活动之前,教师可以鼓励学生根据自己对身边同学的观察、根据经验对学生体质监测需要从哪些方面(也就是构建指标)进行监测比较有效,先做个猜测. 然后查阅资料,包括国内的《国家学生体质健康标准》,甚至国外的,以增强学生参与活动的积极性. 另外该活动需要的数据较多,故可以分小组收集各指标数据, 做好活动的准备工作.

课中主要是实施和讨论. 首先要说明统计活动的重要性, 以及开展活动制定计划的必要性; 然后按照计划将收集的数据进行整理, 利用表格和统计图呈现数据, 通过寻找数据特征, 对照标准, 从而解决问题. 在每个环节教师要提出一些值得思考的问题, 如选择怎样的统计表、统计图呈现比较合理, 检测耐力看哪些指标, 立定跳远可以检测什么体能等, 让大家都要参与到统计活动中. 结果出来后, 教师要带着学生思考所得结论与现实是否吻合, 反思选择的这些指标是否能说明问题, 是否需要增加或减少, 指标的标准值是否合理等.

课后主要是通过查阅资料写一两点的反思, 为今后修订该标准提供参考.

#### 三、参考答案或提示

##### 13.1 总体与样本

### 练习 13.1

1. 总体为某区居民用户的月平均用水量, 样本为 100 户居民用户的月平均用水量.

2.(1)总体为大学四年级学生毕业后的就业意愿,样本为 972 名大学四年级学生毕业后的就业意愿,样本量为 972 . (2)总体为各种品牌的饼干的价格,样本为某超市 10 种品牌的饼干的价格, 样本量为 10 .

3. 总体为上海 15 岁初中生的数学成绩, 样本为 2012 年上海 155 所学校的 6374 名学生的 PISA 数学成绩.

### 习题 13.1

A 组

1. 总体为三个品种的小麦的发芽情况, 样本为三个品种共 500 粒麦种的发芽情况, 样本量为 500 .

2.(1)总体为上海市新生儿的性别,小王的样本为最近一个月在 A 医院出生的 320 名新生儿的性别,小张的样本为最近一周在 B 医院出生的 18 名新生儿的性别. (2)不同意,无论是小王选取的样本还是小张选取的样本都无法代表上海市新生儿的性别情况. (3) 不可以, 小王和小张选取的样本都不具有代表性.

3. 总体为池塘不同位置的深度, 样本为池塘的 150 个测量点的深度.

### B 组

1.(1)总体为高一(3)班学生的数学应用问题的解决能力,样本为高一(3)班学生的期中数学测验中一道应用题的答题情况. (2)可以引导同学们讨论一道应用题的答题情况能否代表学生的数学应用问题的解决能力.

2. 略.

#### 13.2 数据的获取

### 练习 13.2

(3)实验数据.

2. (1)26 894, 7233.7. (2)2034.3, 7.4. 提示:可以登录国家统计局网站, 找出《第三次全国经济普查主要数据公报(第二号)》.

3. 略.

习题 13.2

A 组

1. 总体为小明每天花在体育锻炼上的时间, 样本为小明连续 10 天花在体育锻炼上的时间.

2.(1)观测数据. (2)观测数据. (3)实验数据.

3. 提示: 可以登录国家统计局网站, 在首页找到 “数据查询” 版块的 “年度数据”, 点击进去后找到 “教育” 指标, 下拉菜单中有各级各类学校数以及学生数等.

### B 组

1. 总体为某行业从业者的月收入. 样本为随机抽取的 1000 名该行业从业者的月收入.

2. (1)2083. (2)提示:可以引导学生讨论参与这次调查的 2083 位网民对于该网站的满意度能否都代表所有浏览该网站的网民对于该网站的满意度.

#### 13.3 抽样方法

练习 13.3(1) '

1. (1)不是. (2)不是.

2. 写出 10 首歌的名字, 并对 10 首歌从 1 到 10 进行编号, 将 1 到 10 分别写在 10 张相同的卡片(或者其他号签)上,放入一个容器并搅拌均匀,每次不放回地从中抽取一张卡片(或者其他号签),连续抽取 3 次,得到的 3 张卡片的编号就对应 3 首歌的编号.

3. 略.

练习 13.3(2)

1.(1)简单随机抽样. (2)分层随机抽样.

2.13, 4, 6, 2.

3. 应当先采用分层随机抽样的方法求出不同年级志愿者的抽样人数,再用简单随机抽样的方法在不同年级进行抽取. 高一、高二、高三年级分别应抽取 18 人、22 人、 10 人.

习题 13.3

A 组

1. D.

2. 200.

3. 略.

### B 组

1. 提示: 从 12 个班, 540 人中按照 1 : 30 的比例进行抽取, 则应抽取 18 人. 现将 12 个班的学生从 1 到 540 进行编号.

<table><tr><td>班级</td><td>一班</td><td>二班</td><td>三班</td><td>四班</td><td>五班</td><td>六班</td></tr><tr><td>人数</td><td>43</td><td>47</td><td>47</td><td>43</td><td>47</td><td>43</td></tr><tr><td>编号</td><td>1~43</td><td>44~90</td><td>91~137</td><td>138~180</td><td>181~227</td><td>228~270</td></tr><tr><td>班级</td><td>七班</td><td>八班</td><td>九班</td><td>十班</td><td>十一班</td><td>十二班</td></tr><tr><td>人数</td><td>44</td><td>47</td><td>46</td><td>43</td><td>47</td><td>43</td></tr><tr><td>编号</td><td>271~314</td><td>315~361</td><td>362~407</td><td>408~450</td><td>451~497</td><td>498~540</td></tr></table>

然后利用随机数表抽取 18 个编号, 这 18 个编号对应的学生即是所要抽取的.

#### 13.4 统计图表

### 练习 13.4(1)

1. 略.

2. 这组数据的最大值为 97 , 最小值为 44 , 极差为 53 , 选取组距为 8 , 制作频率分布表如下.

<table><tr><td>体重分组</td><td>频数</td><td>频率</td></tr><tr><td>[44,52)</td><td>16</td><td>0.24</td></tr><tr><td>$\lbrack {52},{60})$</td><td>16</td><td>0.24</td></tr><tr><td>[60,68)</td><td>17</td><td>0.26</td></tr><tr><td>[68,76)</td><td>10</td><td>0.15</td></tr><tr><td>[76,84)</td><td>3</td><td>0.05</td></tr><tr><td>[84,92)</td><td>1</td><td>0.02</td></tr><tr><td>[92,100]</td><td>3</td><td>0.05</td></tr></table>

绘制频率分布直方图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_118_414_1663_780_409_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_118_414_1663_780_409_0.jpg)

图 13-R1

练习 13.4(2)

1. 绘制气温与海水表层温度的茎叶图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_119_607_340_318_228_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_119_607_340_318_228_0.jpg)

图 13-R2

从上图可以看出,海水表层温度和气温都主要集中在 ${20}^{ \circ  }\mathrm{C}$ 到 ${30}^{ \circ  }\mathrm{C}$ 之间,海水表层温度整体上略低于气温.

2. B.

3. 绘制该栎树高和胸径的散点图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_119_436_962_651_399_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_119_436_962_651_399_0.jpg)

图 13-R3

从上图可以看出, 随着树高的增加, 栎树的胸径有增加的趋势.

习题 13.4

A 组

1. (1)和(3).

2. 这组数据的最大值为 5.32 , 最小值为 2.06 , 极差为 3.26 , 选取组距为 0.5 , 制作频率分布表如下:

<table><tr><td>分组</td><td>频数</td><td>频率</td></tr><tr><td>$\lbrack {2.06},{2.56})$</td><td>4</td><td>0.08</td></tr><tr><td>$\lbrack {2.56},{3.06})$</td><td>11</td><td>0.22</td></tr><tr><td>$\lbrack {3.06},{3.56})$</td><td>12</td><td>0.24</td></tr><tr><td>[3.56,4.06)</td><td>16</td><td>0.32</td></tr></table>

(续表)

<table><tr><td>分组</td><td>频数</td><td>频率</td></tr><tr><td>[4.06,4.56)</td><td>3</td><td>0.06</td></tr><tr><td>[4.56,5.06)</td><td>3</td><td>0.06</td></tr><tr><td>[5.06,5.56]</td><td>1</td><td>0.02</td></tr></table>

绘制频率分布直方图及频率分布折线图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_120_263_528_1072_607_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_120_263_528_1072_607_0.jpg)

图 13-R4

3. 绘制频率分布直方图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_120_369_1328_853_393_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_120_369_1328_853_393_0.jpg)

图 13-R5

从上图可以看出, 龋齿病患者较少发于 10 岁以下的儿童及 60 岁以上的老人,在 10 到 60 岁之间均易患病,在 30 到 40 岁之间患病率最高.

4. 略.

B 组

1. 提示: 注意观察图像的纵轴刻度的取值范围.

2. 略.

3. 略.

#### 13.5 统计估计

练习 13.5(1)

1.(1)制作频率分布表如下:

<table><tr><td>分组</td><td>频数</td><td>频率</td></tr><tr><td>[12.5,13.0)</td><td>4</td><td>0.20</td></tr><tr><td>[13.0,13.5)</td><td>3</td><td>0.15</td></tr><tr><td>[13.5,14.0)</td><td>4</td><td>0.20</td></tr><tr><td>[14.0,14.5)</td><td>3</td><td>0.15</td></tr><tr><td>[14.5,15.0)</td><td>3</td><td>0.15</td></tr><tr><td>[15.0,15.5]</td><td>3</td><td>0.15</td></tr></table>

(2)从频率分布表中可以看出该生在 20 次 ${100}\mathrm{\;m}$ 短跑的成绩低于 ${14}\mathrm{\;s}$ 的频率为 0.20+0.15+0.20=0.55,假定该生在第二天的比赛中发挥出平常水平,则可估计该生在比赛中用时低于 ${14}\mathrm{\;s}$ 的可能性为 0.55 .

2. 可以算出该展览馆 2018 年所抽取的 5 周的客流量超过 200 的一共有 16 天,超过 200 天的频率为 $\frac{16}{35} \approx  {45.7}\%$ ,我们可以估计 2018 年客流量超过 200 的频率为 45.7%,由 365×45.7%≈167,可以估计 2018 年超过 200 天的天数为 167.

### 练习 $\mathbf{{13.5}\left( 2\right) }$

1. A.

2. (1)绘制频率分布条形图如下所示:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_121_373_1563_789_478_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_121_373_1563_789_478_0.jpg)

图 $\mathbf{{13} - {R6}}$

( 2 )偶数出现比例的平均值为

$$
\frac{{0.1} \times  1 + {0.2} \times  3 + \cdots  + {1.0} \times  0}{100} = {0.512}.
$$

偶数出现比例的标准差为

$$
\sqrt{\frac{\left( {{0.512} - {0.1}}\right) {)}^{2} \times  1 + \left( {{0.512} - {0.2}}\right) {)}^{2} \times  3 + \cdots  + \left( {{0.512} - 1}\right) {)}^{2} \times  0}{100}} \approx  {1.478}.
$$

3. 经计算可得

$$
{\bar{x}}_{\text{甲 }} = {190},{s}_{\text{甲 }} \approx  {6.31};
$$

$$
{\bar{x}}_{\mathrm{Z}} = {190},{s}_{\mathrm{Z}} \approx  {4.65}.
$$

${\bar{x}}_{\text{甲 }} = {\bar{x}}_{\text{乙 }},{s}_{\text{甲 }} > {s}_{\text{乙 }}$ ,故甲品种的苹果和乙品种的苹果的质量的平均值相同,但是乙品种的苹果质量标准差较小, 说明乙品种的苹果质量更均匀.

练习 13.5(3)

1. 首先对这组数据进行排序:

40 40 46 48 53 56 60 60 60 60

$$
\begin{array}{llllllllll} {65} & {66} & {68} & {69} & {70} & {71} & {72} & {74} & {74} & {76} \end{array}
$$

$$
\begin{array}{llllllllll} {77} & {77} & {78} & {79} & {82} & {82} & {82} & {83} & {83} & {84} \end{array}
$$

$$
\begin{array}{llllllllll} {85} & {86} & {86} & {87} & {88} & {88} & {88} & {89} & {89} & {89} \end{array}
$$

$$
\begin{array}{llllll} {90} & {91} & {93} & {95} & {96} & {97} \end{array}
$$

经计算可求得该组数据的第 67 百分位数为 85 , 第 69 百分位数为 86 , 该生的成绩为 85,我们可以估计该生的成绩在该校大学一年级学生的成绩中大致处于第 67 百分位数.

习题 13.5

A 组

1. 经计算可得

$$
\begin{aligned}  & {\bar{x}}_{\text{甲 }} \approx  {9.807},{s}_{\text{甲 }} \approx  {0.341}; \\  & {\bar{x}}_{乙} \approx  {9.807},{s}_{乙} \approx  {0.595}. \end{aligned}
$$

${\bar{x}}_{\text{甲 }} = {\bar{x}}_{\text{乙 }},{s}_{\text{甲 }} < {s}_{\text{乙 }}$ ,所以说,甲运动员和乙运动员射击比赛得分的平均值相同, 但是甲运动员比赛得分的标准差较小, 说明甲运动员的射击水平更稳定.

2. 经计算, 可得该公司这 20 名员工上班单程花费时间的平均数为 28.5 , 众数为 25,中位数为 25.5.由于这 25 名员工是随机调查的,故我们可以估计该公司上班单程时间的平均数为 28.5 , 中位数为 25.5 , 上班单程花费时间为 25 分钟的人最多.

3.(1)最小值为 16.2,最大值为 29.4,极差为 13.2 . 选取组距为 2,制作频率分布表如下:

<table><tr><td>分组</td><td>频数</td><td>频率</td></tr><tr><td>$\lbrack {16.0},{18.0})$</td><td>3</td><td>0.075</td></tr><tr><td>$\lbrack {18.0},{20.0})$</td><td>5</td><td>0.125</td></tr><tr><td>$\lbrack {20.0},{22.0})$</td><td>9</td><td>0.225</td></tr><tr><td>$\lbrack {22.0},{24.0})$</td><td>8</td><td>0.2</td></tr><tr><td>$\lbrack {24.0},{26.0})$</td><td>8</td><td>0.2</td></tr><tr><td>$\lbrack {26.0},{28.0})$</td><td>6</td><td>0.15</td></tr><tr><td>$\lbrack {28.0},{30.0})$</td><td>1</td><td>0.025</td></tr></table>

(2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_123_278_890_943_513_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_123_278_890_943_513_0.jpg)

图 13-R7

每天运动 $1\mathrm{\;h}$ 的比例超过 25% 的小区比例为

$$
{0.2} \times  \frac{1}{2} + {0.25} + {0.025} = {0.275}.
$$

4. 平均数为 10.13 , 标准差为 6.87 .

5. 记男生样本每周锻炼时间的平均数为 ${\bar{x}}_{\text{男 }}$ ,方差为 ${s}_{\text{男 }}^{2}$ ; 女生样本每周锻炼时间的平均数为 ${\bar{y}}_{\text{女 }}$ ,方差为 ${s}_{\text{女 }}^{2}$ ,所有学生样本每周锻炼时间的平均数为 ${\bar{z}}_{\text{总 }}$ ,方差为 ${s}_{\text{总 }}^{2}$ , 模仿例 3 的推导过程, 得到

$$
{\bar{z}}_{\text{总 }} = \frac{{48}{\bar{x}}_{\text{男 }} + {27}{\bar{y}}_{\text{女 }}}{{48} + {27}} = {7.168}\text{ (小时),}
$$

并且

$$
{s}_{\text{总 }}^{2} = \frac{1}{{48} + {27}}\left\lbrack  {{48}{s}_{\text{男 }}^{2} + {48}{\left( {\bar{x}}_{\text{男 }} - {\bar{z}}_{\text{总 }}\right) }^{2} + {27}{s}_{\text{女 }}^{2} + {27}{\left( {\bar{y}}_{\text{女 }} - {\bar{z}}_{\text{总 }}\right) }^{2}}\right\rbrack   = {7.884}.
$$

所以所有样本数据的平均数为 7.168 小时, 方差为 7.884 , 据此可以估计该校学生每周锻炼时间的平均数为 7.168 小时, 方差为 7.884 .

### B 组

1. 经计算可得该学生这两周每天阅读书籍页数的平均数为 6.5 , 由于该生每天坚持阅读课外书籍,可以估计该生一年阅读书籍的平均数为 6.5 ,那么一年阅读书籍的总页数则为

$$
{6.5} \times  {365} = {2372.5}\text{.}
$$

假设平均一本书为 200 页,由

$$
{2372.5} \div  {200} \approx  {11.9}\text{,}
$$

可估计该生一年阅读的书籍仅 12 本.

2. (1)

<table><tr><td>年降水量/mm</td><td>频数</td><td>组中值 ${x}_{m}$</td><td>$f \cdot  {x}_{m}$</td></tr><tr><td>[50.5,100.5)</td><td>1</td><td>75.5</td><td>75.5</td></tr><tr><td>$\lbrack {100.5},{150.5})$</td><td>2</td><td>125.5</td><td>251</td></tr><tr><td>$\lbrack {150.5},{200.5})$</td><td>3</td><td>175.5</td><td>526.5</td></tr><tr><td>$\lbrack {200.5},{250.5})$</td><td>5</td><td>225.5</td><td>1127.5</td></tr><tr><td>$\lbrack {250.5},{300.5})$</td><td>4</td><td>275.5</td><td>1102</td></tr><tr><td>$\lbrack {300.5},{350.5})$</td><td>3</td><td>325.5</td><td>976.5</td></tr><tr><td>$\lbrack {350.5},{400.5})$</td><td>2</td><td>375.5</td><td>751</td></tr></table>

(2) $\frac{{75.5} + {251} + {526.5} + {1127.5} + {1102} + {976.5} + {751}}{20} = {240.5}$ ,估计年平均降水量为 ${240.5}\mathrm{\;{mm}}$ .

3. 甲班成绩的平均数、中位数和众数分别为 ${72.6}\text{、}{73}\text{、}{84}$ 和 67; 乙班成绩的平均数、中位数和众数分别为 76、78、66 . 可以看出乙班成绩的平均数和中位数均高于甲班, 所以说甲班的成绩更好.

4. 根据题意, 应选取人体的“小腿加足高”的尺寸的第 5 和第 95 百分位数作为工作椅座高的上、下限. 现已知随机调查的 200 名成年女性和 200 名成年男性的坐姿的小腿加足高的数据, 先计算由 200 名成年女性和 200 名成年男性组成的 400 人样本的第 5 和第 95 百分位数. 将这 200 名女性和 200 名男性的坐姿的小腿加足高的数据放在一起进行排序, 得到一个有序样本.

由 ${400} \times  5\%  = {20}$ ,可得第 5 百分位数为有序样本中第 20 个数 350 和第 21 个数 351 的平均数,为 350.5. ${400} \times  {95}\%  = {380}$ ,所以第 95 百分位数为有序样本中第 380 个数 439 和第 381 个数 440 的平均数, 为 439.5 . 由于样本是随机抽取的, 我们可以估计成年人坐姿的小腿加足高的第 5 百分位数和第 95 百分位数分别为 350.5 和 439.5 因而我们可以将工作椅座高的上、下限设为 350.5 mm 和 439 mm.

#### 13.6 统计活动

练习 13.6

1. 略.

2. 略.

习题 13.6

A 组

1. (1)不是.

2. 略.

B 组

1. 略.

2. (1)略. (2)可以讨论全班同学一天平均睡眠时间、运动时间、娱乐时间和学习时间；查阅资料获取这个年龄段学生正常的睡眠小时,找差异；男女生有否差异；身高与睡眠时间有无关系等.

### 复习题

A 组

1. B.

2. A.

3. 应采用分层随机抽样, 共分为 6 层: A 类舒适型、A 类经济型、B 类舒适型、 B 类经济型、C 类舒适型、C 类经济型, 总体容量为

$$
{35} + {50} + {28} + {72} + {15} + {40} = {240}.
$$

故每层应抽取的样本量为

$$
{35} \times  \frac{20}{240} \approx  {2.92};
$$

$$
\begin{gather} {50} \times  \frac{20}{240} \approx  {4.17} \\ {28} \times  \frac{20}{240} \approx  {2.33} \\ {72} \times  \frac{20}{240} = 6; \\ {15} \times  \frac{20}{240} = {1.25}; \\ {40} \times  \frac{20}{240} \approx  {3.33}. \end{gather}
$$

A 类舒适型、A 类经济型、B 类舒适型、B 类经济型、C 类舒适型、C 类经济型的轿车不妨应抽取量:3、4、2、6、1、4.

4. 这组数据最小值为 11.7, 最大值为 21.4, 极差为 9.7. 取组距为 2, 可制作频率分布表如下:

<table><tr><td>分组</td><td>频数</td><td>频率</td></tr><tr><td>[11.7,13.7)</td><td>3</td><td>0.1</td></tr><tr><td>[13.7,15.7)</td><td>7</td><td>0.23</td></tr><tr><td>[15.7,17.7)</td><td>12</td><td>0.4</td></tr><tr><td>[17.7,19.7)</td><td>5</td><td>0.17</td></tr><tr><td>[19.7,21.7)</td><td>3</td><td>0.1</td></tr></table>

绘制频率分布直方图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_126_426_1526_819_460_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_126_426_1526_819_460_0.jpg)

图 13-R8

5. 绘制茎叶图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_127_604_281_298_261_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_127_604_281_298_261_0.jpg)

图 13-R9

6. (1) $\overline{x} \approx  {124.51}$ , $s \approx  {1.55}$ .

(2) $\overline{x} - s = {122.96}$ , $\overline{x} + s = {126.06}$ ,质量位于 ${122.96}\mathrm{g}$ 和 ${126.06}\mathrm{g}$ 的茶叶共有 12 罐,所占百分比为 $\frac{12}{20} = {60}\%$ .

7. 设数据 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ,数据 ${y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}$ 的平均数为 $\bar{y}$ , 可得

$$
\bar{y} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {a{x}_{i} + b}\right)  = \frac{1}{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}a{x}_{i} + {nb}}\right)  = a \cdot  \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}a{x}_{i} + b = a\bar{x} + b,
$$

于是

$$
{s}_{y}^{2} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left\lbrack  a{x}_{i} + b - \left( a\bar{x} + b\right) \right\rbrack  }^{2} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( a{x}_{i} - a\bar{x}\right) }^{2} = {a}^{2} \cdot  \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2} = {a}^{2}{s}_{x}^{2}.
$$

### B 组

1.(1)找出每一年的 12 个月份的月平均气温的极小值:

<table><tr><td>年份</td><td>2007</td><td>2008</td><td>2009</td><td>2010</td><td>2011</td><td>2012</td><td>2013</td><td>2014</td><td>2015</td><td>2016</td></tr><tr><td>气温极小值月份</td><td>1月</td><td>2月</td><td>1月</td><td>1 月</td><td>1 月</td><td>2月</td><td>1月</td><td>12 月</td><td>1月</td><td>1月</td></tr><tr><td>气温极小值</td><td>5.9</td><td>4.2</td><td>4.3</td><td>5.7</td><td>1.9</td><td>4.8</td><td>4.6</td><td>5.7</td><td>6</td><td>4.4</td></tr></table>

由上表可知, 10 年中每年最冷的月份并不相同.

(2)气温的波动用极差来衡量,我们可以计算 2007 年到 2016 年这 10 年间 1 到 12 月份的月平均气温的极差分别为:

<table><tr><td>月份</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><td>极差</td><td>4.7</td><td>5.6</td><td>2.6</td><td>4.3</td><td>2.4</td><td>3</td><td>5.3</td><td>4.7</td><td>2.3</td><td>2.1</td><td>4.3</td><td>4.1</td></tr></table>

由上表可知, 2 月份的极差最大, 所以说 10 年中 2 月份的气温波动最大.

(3)我们可以计算 2007 年到 2016 年这 10 年间每一年的月平均气温的极差分别为:

<table><tr><td>年份</td><td>2007</td><td>2008</td><td>2009</td><td>2010</td><td>2011</td><td>2012</td><td>2013</td><td>2014</td><td>2015</td><td>2016</td></tr><tr><td>极差</td><td>24.5</td><td>26.2</td><td>24.7</td><td>25.2</td><td>28.3</td><td>25.1</td><td>27.4</td><td>21.7</td><td>21.8</td><td>25.5</td></tr></table>

由上表可知, 2011 年的月平均气温的极差最大, 所以说 10 年中 2011 年的气温波动最大.

(4)10 年中 7 月份和 8 月份月平均气温的折线图如下:

![bo_d402s6jef24c73d2tl40_128_416_549_810_402_0.jpg](../images/bo_d402s6jef24c73d2tl40_128_416_549_810_402_0.jpg)

图 13-R10

从折线图上看, 在不同的年份 7 月份和 8 月份的气温有高有低, 但是整体看 7 月份(蓝色折线)的气温略高于 8 月份(橘色折线). 通过计算十年间 7 月份和 8 月份的月平均气温的平均值分别为 ${29.47}^{ \circ  }\mathrm{C}$ 和 ${28.92}^{ \circ  }\mathrm{C}$ ,可见确实 7 月份的月平均气温高于 8 月份.

2. 提示: 可以采用分层随机抽样, 分层可考虑年级、性别等因素.

3. 可以计算这 10 名同学的四次成绩的均值和标准差, 并按照平均值从大到小进行排序:

<table><tr><td>学生编号</td><td>平均值</td><td>标准差</td></tr><tr><td>4</td><td>96.3</td><td>2.8</td></tr><tr><td>2</td><td>95.5</td><td>6.9</td></tr><tr><td>8</td><td>95.5</td><td>8.9</td></tr><tr><td>1</td><td>92.3</td><td>6.9</td></tr><tr><td>5</td><td>92.3</td><td>3.1</td></tr><tr><td>7</td><td>91.8</td><td>0.8</td></tr><tr><td>10</td><td>91</td><td>7.8</td></tr><tr><td>6</td><td>90.5</td><td>8.3</td></tr><tr><td>3</td><td>88.3</td><td>10.8</td></tr><tr><td>9</td><td>84.8</td><td>7.2</td></tr></table>

我们从上表中可以看出 4 号同学的四次测验成绩的均值最大, 标准差也不大, 所以如果只推荐一位同学参加比赛, 那么可以推荐 4 号同学. 而如果需要 4 名同学参加比赛, 从平均值来看, 1 号和 5 号的平均值相同, 但是 5 号的标准差较小, 成绩相对较为稳定, 所以可以推荐 4 号、2 号、8 号和 5 号同学参赛.

4. 要保证 50% 的员工能拿到基本奖励,拿到基本奖励的员工中至多 10% 的人能够拿到额外奖励, 则需要知道该客服部门员工通话数量的第 50 百分位数和第 90 百分位数. 现有随机抽取的 30 名员工的通话数量, 先算出该样本的第 50 百分位数和第 90 百分位数.

对样本从小到大进行排序:

$\begin{array}{llllllllll} {901} & {902} & {921} & {931} & {968} & {1032} & {1041} & {1051} & {1083} & {1099} \end{array}$

110011241130 1197 1223 1239 1282 1319 1344 1354

1378 1381 1428 1445 1463 1549 1607 1610 1752 1804

由 ${30} \times  {50}\%  = {15}$ ,得第 50 百分位数为有序样本中第 15 个数 1223 和第 16 个数 1239 的平均数,为 1226 . 由 ${30} \times  {90}\%  = {27}$ ,得第 90 百分位数为有序样本中第 27 个数 1607 和第 28 个数 1610 的平均数, 为 1608.5 , 为便于操作, 我们取 1609 . 由于样本是随机抽取的, 我们可以估计该客服部门员工通话数量的第 50 百分位数和第 90 百分位数分别为 1226 和 1609 . 我们可以规定奖励方案如下:每个月与客户通话数量高于 1226 的员工可以拿到基本奖励; 每个月与客户通话数量高于 1609 的员工还可以拿到额外奖励.

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] 戴维・穆尔,威廉·诺茨. 统计学的世界(第 8 版)[M]. 郑磊,译. 北京: 中信出版社,2017.

### 后 记

本套教学参考资料与李大潜、王建磐主编,出版的《普通高中教科书·数学》配套使用,本套教材根据中华人民共和国教育部制定并颁布实施的《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)》编制,并经国家教材委员会专家委员会审核通过.

本套教材是由设在复旦大学和华东师范大学的两个上海市数学教育教学研究基地 (上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地)联合主持编写的. 编写工作依据高中数学课程标准的具体要求,努力符合教育规律和高中学生的认知规律,结合上海城市发展定位和课程改革基础, 并力求充分体现特色. 希望我们的这一努力能经得起实践和时间的检验, 对扎实推进数学的基础教育发挥积极的作用.

本书是与必修第三册教材配套的教学参考资料, 共为四章, 各章编写人员分别为阮晓明、杨家政(第 10 章)

黄坪(第 11 章)

应坚刚、田万国(第 12 章)

陈月兰、汪家录(第 13 章)

限于编写者的水平, 也由于新编教材尚缺乏教学实践的检验, 不妥及疏漏之处在所难免, 恳请广大师生及读者不吝赐教. 宝贵意见请通过邮箱 gaozhongshuxue@seph.com.cn 反馈, 不胜感激.

2021 年 7 月

图书在版编目 (CIP) 数据

普通高中数学教学参考资料:必修. 第三册/上海市中小学 (幼儿园)课程改革委员会组织编写. 一 上海:, 2021.8(2023.6重印)

ISBN 978-7-5720-0848-1

I. ①普... II. ①上··· III. ①中学数学课 - 高中 - 教学参考资料 IV. ①G634.603

中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第152875号